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Los poliedros en el Neolítico
Los poliedros regulares son sólidos limitados por idénticos polígonos regulares, en los que concurren en cada vértice igual número de caras.
El significado simbólico, místico y cósmico de los poliedros regulares se remonta a los primeros estadios de la Civilización. Critchlow (1979) da una prueba fehaciente de que ya eran conocidos por los pueblos neolíticos y por las primeras culturas históricas europeas, como muestran las siguientes ilustraciones:
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Sólidos regulares neolíticos de Escocia (Ashmolean Museum de Oxford). Según Critchlow (1979), «lo que tenemos son objetos que indican claramente un grado de dominio de las matemáticas que hasta la fecha todo arqueólogo o historiador de la matemática le había negado al hombre neolítico». |
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El origen de estas piezas puede ser de índole estético, místico o religioso, pero también es posible que fueran observadas en la naturaleza en la forma de algunos cristales como los de pirita, o en esqueletos de animales marinos como la radiolaria.
Según Lawlor (1993), Gordon Plummer en su obra The Mathematics of the Cosmic Mind, afirma que la mística hindú asocia el icosaedro con el Purusha, la semilla-imagen de Brahma, el creador supremo, la imagen del hombre cósmico, equivalente al antropocosmos de la tradición esotérica occidental, mientras que el dodecaedro es asociado con Prakiti, el poder femenino de la creación, la Madre Universal, la quintaesencia del universo natural. En la mitología hindú, Purusha y Prakiti son la eterna dicotomía creadora, representación mística de la dualidad geométrica entre el icosaedro y el dodecaedro. Diversos historiadores de las Matemáticas (Eves, 1983; Kline, 1992) admiten que las antiguas civilizaciones egipcias y babilónicas tenían conocimiento del cubo, tetraedro y octaedro y que este saber se trasmitiría a Grecia a través de los viajes de Tales y Pitágoras.
Los Poliedros en el Renacimiento. Della Francesca, Luca Pacioli y Durero
Los llamados artistas matemáticos del Renacimiento manifestaron gran interés por los poliedros, propiciado, por una parte, por los estudios platónicos sugeridos por la reaparición de ciertos manuscritos con las obras de Platón, y por otra, debido a que estos sólidos servían como excelentes modelos en los estudios sobre Perspectiva (Pedoe, 1979).
El estudio más completo fue realizado hacia 1480 por Piero della Francesca en su obra Libellus De Quinque Corporibus Regularibus. Aparte de los tópicos euclídeos sobre poliedros, en esta obra se redescubren gradualmente los llamados sólidos arquimedianos o poliedros semirregulares. Son trece cuerpos igualmente inscriptibles en una esfera con caras polígonos regulares de dos o tres tipos, siendo iguales los polígonos que resultan de unir puntos medios de aristas que concurren en un vértice. Pappus de Alejandría (1982), que atribuye su invención a Arquímedes, da una descripción de estos sólidos en el apartado V.19 de su obra La Colección Matemática e indica, además, para cada sólido, el número de caras, aristas y vértices.
Piero della Francesca fue un experto en relacionar los diversos poliedros; obtuvo unos a partir de otros y los inscribió sucesivamente. De esta forma, además del posible número de polígonos regulares en el plano (infinitos) y de poliedros regulares en el espacio (sólo cinco) aparece otra distinción significativa entre ambos tipos de entes: mientras que en el plano, el triángulo, el cuadrado y el pentágono, por ejemplo, son geométrica y algebraicamente independientes unos de otros, los cinco poliedros regulares guardan entre sí íntimas relaciones estructurales. De ellas la más elemental es la llamada dualidad o reciprocidad poliédrica según la cual «el sólido cuyos vértices son los centros de las caras de uno platónico también es platónico» y también «el sólido determinado por los planos tangentes en los vértices a la esfera circunscrita a un sólido platónico también es platónico». Un poliedro y su dual tienen el mismo número de lados y el número de caras de uno es igual al número de vértices del otro.
Los cinco poliedros regulares se clasifican por dualidad en tres grupos: tetraedro que es dual de sí mismo, cubo-octaedro (el dual del cubo es el octaedro y viceversa) e icosaedro-dodecaedro (el dual del icosaedro es el dodecaedro y viceversa) según muestran las siguientes figuras:
Piero della Francesca va mucho más allá al realizar un estudio muy completo de formas de pasar directa o indirectamente de unos sólidos platónicos a otros, vinculando de múltiples maneras los diversos poliedros, algunas de las cuales son estudiadas por Ghyca (1983) y por Lawlor (1993). También en Guillén (1997) se puede encontrar un estudio bastante exhaustivo de la interrelación de sólidos platónicos, a base de buscar de forma sistemática las posibles inscripciones entre poliedros regulares dispuestos de tal forma que las simetrías comunes coincidan (por ejemplo, como el cubo y el octaedro tiene las mismas simetrías, se podrán inscribir en los mismos poliedros, y también podrán inscribirse en ellos los mismos poliedros). En particular, al considerar los pares de poliedros (de un tamaño adecuado) que tienen exactamente las mismas simetrías, resultan parejas de sólidos en los que los vértices del poliedro inscrito yacen en los centros de las caras del otro poliedro, que son los pares de poliedros que hemos llamado duales.
 | Grabado de La Divina Proporción de Luca Pacioli, copia de una ilustración de Libellus De Quinque Corporibus Regularibus de Piero della Francesca (Manuscrito Urb. lat. 632 fols. 40 verso de laBiblioteca Vaticana, 1480) La imagen representa una original inscripción de un icosaedro en un cubo, de forma que los vértices del icosaedro están situados sobre las caras del cubo. |
Luca Pacioli inspirándose en las fuentes platónicas y euclídeas (y en primera instancia pitagóricas), en la obra de Vitrubio, en las conversaciones con Leonardo da Vinci y en los trabajos de Piero della Francesca, realiza la construcción y hace un estudio exhaustivo de los poliedros regulares y semirregulares en su obra La Divina Proporción (Capítulos XXIV-LIV) donde abundan las referencias esotéricas y místicas (Luca Pacioli, 1946, 1992).
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Diseños de Leonardo da Vinci del icosaedro y del dodecaedro que aparecen en la obra de Luca Pacioli La Divina Proporción (Venecia, 1509). |
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El famoso cuadro realizado por J. de Barbari en 1495 (Museo de Capidemonte, Nápoles) que representa a Luca Pacioli rodeado de elementos geométricos alusivos a una página de Euclides, en relación con los poliedros, a cuyo estudio está dedicada gran parte de su famosa obra La Divina Proporción. En la pintura aparece el dodecaedro como símbolo de unión mística entre maestro y discípulo (que representa a Guidobaldo, Duque de Urbino, aunque algún osado ha querido ver a un joven Durero), así como uno de los poliedros arquimedianos llamado por Kepler RomboCuboOctaedro, posiblemente redescubierto por Pacioli. |
Pacioli estudia la proporción mutua de todas las superficies poliédricas regulares y la inclusión progresiva de cada uno de los poliedros en el siguiente, hasta el punto de que el dodecaedro los contiene a todos. La influencia pitagórico-platónica le infunde la veneración hacia el dodecaedro, al que llama nobilísimo cuerpo regular, de forma que interpretando El Timeo platónico, escribe (La Divina Proporción, Cap. LV):
«La forma de doce bases pentagonales la atribuyó [Platón] al cielo como aquello que es receptáculo de todas las cosas, del mismo modo que el dodecaedro es receptáculo y albergue de todos los cuerpos regulares, como se puede comprobar por la inscripción de un cuerpo en otro».
Los trabajos de Piero della Francesca y Luca Pacioli sobre poliedros tuvieron una gran incidencia en la posterior Literatura matemática vinculada al Arte, sobre todo la desarrollada por Durero en su obra de 1525 Underweysung der messung, recien editado por vez primera en castellano (Durero, 2000), con el nombre de De la Medida. Se trata de una especie de enciclopedia geométrica para uso de pintores, redactada por un gran maestro artista-geómetra formado en el cruce de las tradiciones prácticas, artesanas, sabias, artísticas y humanistas, que pretendía dotar a la creación artística de una base científico-geométrica.
Buena parte del Libro IV de la obra de Durero está dedicada a los poliedros regulares y semiregulares. Para Durero los poliedros regulares son sólidos «que son iguales en todo, caras, ángulos y lados, a los que Euclides llama “corpora regularia”. Él describe cinco, pues no pueden ser otros que los que se inscriben en su totalidad tangentes a una esfera». A continuación, Durero describe, uno por uno, los cinco poliedros regulares, indica el número de caras, aristas y vértices, y representa cada uno de los cuerpos por su desarrollo en un plano y por dos proyecciones ortogonales sobre los planos horizontal y vertical, lo que, en alguna medida, es un antecedente de la Geometría Descriptiva de Monge.
El desarrollo de Durero permite reconstruir el objeto poliédrico en tres dimensiones: se recorta en papel la red formada por las caras y se pliega a lo largo de las aristas de las caras contiguas. Es el mismo procedimiento utilizado en la escuela para construir los poliedros regulares. El Libro IV del Underweysung de Durero prosigue con el estudio de los poliedros arquimedianos (siete en la edición de 1527 y nueve en la póstuma de 1538). Durero presenta unos sólidos «que son tangentes con todos sus vértices a una esfera hueca, aunque tienen caras desiguales», en una forma diferente a la de P. della Francesca y a la de Luca Pacioli. Mientras della Francesca sólo trunca cada uno de los poliedros regulares, Pacioli obtiene de cada sólido platónico el cuerpo truncado y el sobrealzado (no necesariamente arquimediano) que se obtiene al añadir una pirámide a cada una de las caras, y después representa en perspectiva (Pacioli, 1992) los diversos cuerpos, primero macizos y luego vaciados, sobre figuras bellamente diseñadas por Leonardo. Durero se conforma con dar los desarrollos planos de los sólidos, después de describir sus elementos geométricos (caras, aristas y vértices). Lo que interesa a Durero es su sencilla construcción inspirado en los modelos de diversas colecciones de poliedros construidas por Pacioli, que circularon por Italia coincidiendo con la estancia de Durero en esa tierra.
El mágico universo poliédrico de Escher
Como en otros muchos artistas, la Geometría ha servido a Escher uno de los argumentos más importantes en sus especulaciones artísticas, hasta el punto de que llega a escribir que él mismo no está seguro de si está haciendo Arte o Matemáticas.
Escher estaba fascinado por la misteriosa regularidad de las formas minerales con las que debía tener frecuente contacto al tener un hermano que era geólogo de profesión: «hay algo de estremecedor en las leyes que gobiernan las formaciones cristalinas». De ahí nace su interés por los poliedros, cuyas formas utilizará con asiduidad en los múltiples modelos de diversos materiales y en numerosos grabados donde los dibuja en diversas posiciones. Con el fin de tenerlos siempre presentes, Escher construyó con hilo y alambre un modelo de los cinco cuerpos platónicos, inscritos unos en otros, que le acompañaba siempre.
Los poliedros son el tema principal en las siguientes dibujos de Escher: Cristal (1947), EstrellasPlanetoide doble (1949), Orden y caos (1950), Gravitación (1952), Planetoide tetraédrico (1954). Como tema secundario también aparecen en numerosos grabados, entre ellos Reptiles (1943) y Cascada (1961). (1948),
Entre las piezas de arte más interesantes de Escher está el Poliedro con flores (1958) que consiste en cinco tetraedros que al compenetrarse mutuamente dan lugar a una especie de dodecaedro romboidal en forma de estrella. Otra curiosa pieza es la Galletera (1963) en forma de icosaedro adornado con conchas y estrellas de mar.
Entre los mundos fantásticos que Escher diseña sobresale un extravagante edificio submarino, plamado en la litografia Platelmintos (1959), con la que demuestra que es posible rellenar sin hueco alguno una superficie, alternado la presencia de tetraedros y octaedros. Para una comprobación de este hecho mediante ensamblados de desarrollos planos de ambos poliedros, véase Ernst (1994).
El misticismo poliédrico en la creatividad de Dalí
Para Dalí, como para otros muchos artistas, la Geometría proporciona importantes argumentos en las reflexiones teóricas previas a la obra de arte. En particular la Divina Proporción y los poliedros regulares, además de las implicaciones estéticas acreditadas por su presencia en algunos de sus cuadros, asumen una función de orden cosmológico, científico, teológico y simbólico. En la aplicación constante de la Matemática a su pintura, Dalí sintetiza siglos de tradición simbólica pitagórica (González Urbaneja, 2001).
Dalí se había interesado en los años 30 del pasado siglo por las investigaciones de M. Ghyka acerca de la sección áurea, la geometría y la numerología pitagóricas, lo que deja una huella en su arte que adquiere una estrecha relación entre Ciencia y Religión (Weyers, 2000).
Como reminiscencia platónica la mitología en torno al dodecaedro le ha servido a Dalí para evocar y asumir una fuerte carga simbólica en algunas de sus composiciones.
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